Druksensor ijken en maken van een pV-diagram

#import necessary libraries
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import math
from scipy.optimize import curve_fit 
from scipy.stats import linregress

Introductie¶

In de experimentele natuurkunde was het lang geleden gelukt om de krachten tussen ladingen te bestuderen zonder dat bekend was hoe groot die ladingen nu precies waren. Men laadde een metalen bol op en hield deze tegen een andere metalen bol van hetzelfde materiaal. Men redeneerde dat de ladingen op de bollen gelijk waren, omdat ze van hetzelfde materiaal waren. Vervolgens plaatste men de bollen in een vacuüm en mat men de krachten tussen de bollen met een zeer gevoelige balans. Op deze manier kon men de krachten tussen de ladingen bestuderen zonder de absolute waarde van de ladingen te kennen. Dit trucje kon herhaald worden met andere bollen waarna een kwantiatieve beschrijving van de krachten tussen ladingen mogelijk werd.

Een soortgelijke meettechniek gaan we gebruiken om een druksensor te ijken. Van de sensor zijn wel wat dingen bekend, maar omdat de spanning van de Arduino niet overeenkomstig is met de gewenste spanning, zouden we deze moeten ijken. We weten dat de sensor lineair is, dus als we twee punten weten, kunnen we de rest van de curve bepalen. Nog beter zou het zijn om drie punten te nemen en zo ook het lineaire karakter van de sensor te bevestigen.

Theorie¶

Een injectiespuit met een maximaal volume van 50 mL is gevuld met lucht. De spuit kan aan een kant afgesloten worden met een tube die verbonden is met een druksensor die de gasdruk meet. Door de zuiger van de spuit in te drukken, wordt het volume verkleind en de druk verhoogd. Wanneer we de druk langzaam in drukken verwachten we dat de druk in de spuit volgens de wet van Boyle toeneemt:

P_1 V_1 = P_2 V_2

(1)

Omdat de gemeten spanning van de druksensor lineair afhankelijk is van de druk, kan de druk uitgedrukt worden als:

P = a U + b

(2)

Methode en materialen¶

Je maakt gebruik van een Arduino. Daarvoor heb je de juiste IDE nodig. Het programma staat al op de Arduino’s in het lokaal. Zodra je de Arduino aansluit op je computer zal de Arduino gaan meten, maar zijn de metingen nog niet zichtbaar. Je moet de Arduino op Arduino MKR Zero zetten. Dan wordt nog wel een driver geinstalleerd.

Controleer of de Arduino herkend wordt door op tools -> port te klikken, daar staat de com poort van de Arduino. Open vervolgens de seriële monitor (het vergrootglas rechtsboven in de IDE) om de gemeten spanning te zien.

int drukpin = A1;

void setup() {
  pinMode(A1,INPUT);
  Serial.begin(9600);
}

void loop() {
  Serial.println(analogRead(drukpin));
  delay(100);
}

Deel 1¶

Stel de injectiespuit in op 40 mL en sluit de spuit aan op de druksensor door middel van een zo klein mogelijke tube. Meet de spanning van de druksensor met de Arduino en noteer deze waarde als $U_1$ . Druk vervolgens de zuiger langzaam in tot 20 mL en meet opnieuw de spanning van de druksensor, noteer deze waarde als $U_2$ . Herhaal dit voor volumes van 10 mL.

Leg uit waarom een zo klein mogelijke tube gebruikt moet worden.
Welke waarde hoort bij de gasdruk bij 40 mL? Zoek deze waarde op.
Welke waarden horen bij de gasdruk bij 20 en 10 mL?
Gebruik de drie punten om de waarden van $a$ en $b$ in vergelijking 2 te bepalen en controleer of de sensor inderdaad lineair is door de waarden te plotten.

Deel 2¶

Vervang daarbij de kleine tube voor een langere en bepaal het onbekende volume van de tube met een volgende meetserie waarbij je de druk en het volume bepaald. Zorg ervoor dat ook drukken onder de 1 atm gemeten worden.

Antwoorden deel 1¶

Het totale volume gas in je systeem is niet alleen het volume in de spuit ( $V_{spuit}$ ), maar ook het volume in de verbindingsslang ( $V_{tube}$ ). De wet van Boyle geldt voor het totale volume: $P \cdot (V_{spuit} + V_{tube}) = \text{constant}$ . Als de tube groot is, introduceer je een significante systematische fout omdat je bij het aflezen op de spuit het volume van de tube negeert.
Bij het aansluiten van de spuit op 40 mL is het systeem in evenwicht met de omgeving. De gasdruk $P_1$ is dus gelijk aan de atmosferische druk ( $P_{atm}$ ). $P_{atm}$ = 1.01325 bar
Bij 20 mL ( $V_2 = \frac{1}{2} V_1$ ): De druk verdubbelt $\rightarrow P_2 = 2 \cdot P_{atm} \approx 202650 \, \text{Pa}$ . Bij 10 mL ( $V_3 = \frac{1}{4} V_1$ ): De druk verviervoudigt $\rightarrow P_3 = 4 \cdot P_{atm} \approx 405300 \, \text{Pa}$ .

# DEEL 1: IJking (P = a*U + b)
#data from lab experiment Metingen deel 1
V = np.array([0.040, 0.020, 0.010])/1000 # in m³
U = np.array([181.0, 316.0, 460.0]) # Getallen uit Arduino monitor

plt.figure(figsize=(8, 6), dpi=450)
plt.plot(V, U, '+', label='Meetpunten')
plt.ylim(bottom=0, top=(max(U) * 1.1))

def function_fit(U, a, b):
    return U * a + b

val, pcov = curve_fit(function_fit, V, U)
a = val[0]
b = val[1]
V_fit = np.linspace(min(V)*0.9, max(V)*1.1, 100)
print(f"IJkingsformule: P = {a:.2f} * U + {b:.2f}")

U_fit = function_fit(V_fit, a, b)
plt.plot(V_fit, U_fit, '-', label=f'Fit: U = {a:.2e} * V + {b:.2f}')
plt.title('IJking Druksensor', fontsize=14)
plt.legend()
plt.grid()
plt.gca().set_ylabel('$U$ (V)', fontsize=12, rotation=0, labelpad=40, va='center')
plt.xlabel("$V$ (m³)")
plt.show()

IJkingsformule: P = -8935714.31 * U + 527.50

Resultaten¶

V_{spuit} = C \cdot \frac{1}{P} - V_{tube}

(3)

# Handmatige lineaire fit functie
def handmatige_fit(x, y):
    n = len(x)
    sum_x = np.sum(x)
    sum_y = np.sum(y)
    sum_xy = np.sum(x * y)
    sum_x2 = np.sum(x**2)
    
    helling = (n * sum_xy - sum_x * sum_y) / (n * sum_x2 - sum_x**2)
    intercept = (sum_y - helling * sum_x) / n
    return helling, intercept

#DATA DEEL 2
# Volumes direct in m3
V_spuit = np.array([0.050, 0.060, 0.040, 0.030, 0.020, 0.010]) / 1000 
U_meet = np.array([154.5, 137.0, 180.0, 221.0, 292.0, 452.0])

# Druk berekenen met de ijking uit deel 1 (zorg dat 'a' en 'b' gedefinieerd zijn)
P_meet = a * U_meet + b
inv_P = 1 / P_meet

# Fit uitvoeren: y = V_spuit, x = 1/P
# Fit voor de tube: y = V_spuit, x = inv_P
# Volume van de lange tube = -intercept
# Door $V_{spuit}$ uit te zetten tegen $1/P$, vinden we een intercept dat overeenkomt met het totale dode volume van het systeem.
# Hierin zijn zowel het volume van de extra lange tube als de volumes van de koppelstukjes en de interne sensorruimte verwerkt.
C, intercept_tube = handmatige_fit(inv_P, V_spuit)
V_tube_m3 = -intercept_tube

# OUTPUT
print(f"Berekend volume van de tube: {V_tube_m3:.2e} m³")
print(f"Ter controle in mL: {V_tube_m3 * 1e6:.2f} mL")

# plot
plt.figure(figsize=(10, 6), dpi=450) 

# Meetpunten plotten in m3
plt.plot(inv_P, V_spuit, 'b+', label='Meetdata (V_spuit)')

# Fitlijn berekenen vanaf x=0 om het intercept (V_tube) zichtbaar te maken
x_fit = np.linspace(min(inv_P)*1.1, 0, 100)
y_fit = C * x_fit + intercept_tube
plt.plot(x_fit, y_fit, 'r--', label=f'Lineaire Fit: $V_{{spuit}} = C \cdot (1/P) - V_{{tube}}$')

# Assen en layout verbeteren
plt.axhline(0, color='black', linewidth=1)
plt.axvline(0, color='black', linewidth=1)

# Wetenschappelijke notatie forceren voor de y-as (omdat m3 heel klein is)
plt.ticklabel_format(style='sci', axis='y', scilimits=(0,0))

plt.xlabel('$1/P$ (1/Pa)', fontsize=12)
plt.gca().set_ylabel('$V_{spuit}$ (m³)', fontsize=12, rotation=0, labelpad=40, va='center')
plt.title('Bepaling van het Tube Volume (Systematische fout)', fontsize=14)
plt.legend()
plt.grid(True, linestyle=':', alpha=0.7)
plt.tight_layout()
plt.show()

Berekend volume van de tube: 1.31e-05 m³
Ter controle in mL: 13.08 mL